矩阵的秩的应用-「秩 / 列空间 / 零空间」-图解线性代数 09

首先让我们来做一个简短的回顾:

矩阵乘法可以理解为一个特定的线性变换,矩阵的列向量相当基向量 i: (1矩阵的秩的应用,0) 和 j: (0,1) 经过变换过后的到达向量.

(原谅我用鼠标进行的标注吧)

空间变换后的任何向量都可以由矩阵 A 的列向量线性表出, 而这些所有可能的结果, 也就是矩阵的列所张成的列空间(Column Space).

原先的空间经过这样2×2 矩阵 A 线性变换后的空间可能会三种情况:

在数学专业的词汇来表示线性变换后空间的维数, 称之为矩阵的秩( Rank ) . 换句话说, 列空间就是矩阵的列所张成的空间. 所以矩阵秩的另一种定义可以说是列空间的维数. 经过变换后被压缩到原点的向量集合,称为矩阵 A 的”零空间“(Null Space)或”核”(Kernel)矩阵的秩的应用, 记为 Null(A) 或 Ker(A).

对照上面的三种情况, 来分别来观察.

第 1 种情况: 变换后仍是平面

观察要点:

第 2 中情况: 变换后被压缩为一条直线

第 3 种情况: 变换压缩到原点

维数定理

假设 A 是 mxn 矩阵(非方阵的情况, 下次会介绍), 维数定理就是:

dim Ker(A) + rank(A) = n

相信如果理解透彻 2×2 矩阵的情况, 那更高维的矩阵也就清楚了.

上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点. 好了, 现在让我们在下一篇的中再见!

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