矩阵的秩的应用-细说乘积矩阵的秩的性质R(AB)≤min「 R(A), R(B)」的证明

R(AB)≤min{R(A),R(B)}是线性代数中关于矩阵的秩非常重要的一条性质，但由于学时有限，许多老师在课堂上常常难以展开证明过程。

笔者历年的处理也流于草草，心中难免遗憾。今天，笔者根据教学实践中同学们的反馈对该部分内容的证明重新做了修整。特此分享于线代学研园地的读者矩阵的秩的应用，但愿能有助于几个读者对该内容有更多一点点的理解。

首先, 在元素层面上, 可设

接下来分三步展开：先证R(C=AB ) ≤ R(A),再证R(C=AB ) ≤ R(A)，然后给一个简单的算例。

1.证明R(C=AB ) ≤ R(A)

对和分别按列分块如下：

则C=AB可改写如下：

上面的矩阵分块乘积表明：

即C的列向量可由A的列向量线性表示，

因此R(C=A B ) ≤ R(A)

2. 证明R(C=AB ) ≤ R(A)

对Cm×n和Bk×n分别按行分块如下

则C=AB可改写为

上面的矩阵分块乘积表明：

故C的行向量可由B的行向量线性表示，因此R(C=AB) ≤ R(B)。

综合上述两点证明可知：R(C=AB)≤min{R(A),R(B)}.

3. 一个简单的算例

今天的话题就讲到此啦。囿于学识与眼界的有限，权当抛砖引玉。不当或不妥之处，欢迎大家评论指正，欢迎大家积极交流。

提 示：可以将您的科学观点做成图片矩阵的秩的应用，以评论的形式交流哦

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