矩阵的秩的应用-矩阵秩的一般性质及其证明

关于矩阵的秩，首先有如下基本定义和性质：

上述性质基本属于定义。

接下来是一些需要证明的性质：

第一条是自然的矩阵的秩的应用矩阵的秩的应用，一个矩阵的秩不可能超过它的行数或者列数。

第二条，矩阵转置后秩不变，是由于行向量组的秩和列向量组的秩是相等的。

由上图可以看出，因为Er的转置还是Er，而初等变换也不会改变矩阵的秩，所以矩阵的行秩等于列秩，转置前后的秩也相等。

第三条，按照矩阵相似的定义：

因为P是可逆方阵，而可逆方阵可以由单位矩阵通过初等变换得到，也就相当于B可以通过A经过若干次初等变换得到，而初等变换不改变矩阵的秩，因此相似矩阵的秩相等。

第四条，原因同第三条。

第五条：

证明中是把（A,B）当作列向量排列。

第六条：

这是因为把（A+B，B）按列向量排列以后，又可以通过列变换，即把A+B减去B的相应列，变回到（A，B）,所以两者相似。

第七条：

第八条：

这一条的证明很简单，如下图：

矩阵A的列数等于变量的个数4，矩阵A的秩等于2，所以自由变量的个数等于4-2=2，也就是x3和x4，所以解向量组的秩就是2。

上述性质的证明，好几个都是把矩阵看作是由列向量构成，然后通过相似矩阵的性质加以证明，其中最重要的还是初等变换不改变矩阵的秩这个性质的应用。

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